• Prev
  3D prikaz okolice grada Mostara s rijekama i odlagalištima otpada.   ...
Boris Džeba, FPMOZ Mostar, 2016 Stanje sa odlaganjem otpada u gradu Mostaru kao i ...
Džeba Boris, Izgradnja izvršnih informacionih sustava korištenjem Expert Choica, ...
3D Prikaz Corina Land cover pokrivača i mape Hercegovine     3D Prikaz na ...
 FLIR SNIMKE   var player = new Clappr.Player({ source: ...
Razlika u temperaturi zgrada s izolacijom i bez izolacije
Džeba Boris, Izgradnja izvršnih informacionih sustava korištenjem Expert Choica, ...
Džeba Boris, Izgradnja izvršnih informacionih sustava korištenjem Expert Choica, ...
  GIS pregled odlagališta otpada i voda u hercegovini   Otpad i Vode u ...
Džeba Boris, Izgradnja izvršnih informacionih sustava korištenjem Expert Choica, ...

Login Form

Sj Flat Menu

MATEMATIČKA OSNOVA AHP Featured

Džeba Boris, Izgradnja izvršnih informacionih sustava korištenjem Expert Choica, listopad 1996.

 

Matematička osnova na kojoj počiva ovaj metod je teorija matrica sa uključenim elementima računa karakterističnih vrijednosti i karakterističnih vektora.

 

 MATRICA PROCJENE PAROVA

Pretpostavimo da imamo n mogućnosti. Za svaki kriterij vršimo posebno uspoređivanje alternativa u parovima. Predpostavimo da imamo m kriterija. Razmatrajmo sada jedan kriterij sa svakom od alternativa.

Princip uspoređivanja u parovima sastoji se od uspoređivanja svake alternative prema svakoj, u parovima.

Promatrajmo jedan kriterij. Sada promatrajmo alternativu 1. Odredimo njezinu prednost prema svakoj drugoj alternativi

pojedinačno. Dobivene brojeve označimo sa a ij, j=2,3............ n.

Elemenat nam znači datu prednost alternative 1. Prema alternativi koju smo označili sa k. Iza toga promatrajmo alternativu 2. I odredimo njezine prednosti prema alternativama od 3 do n.

Dobivene brojeve označimo sa a2j, j=3,4........... n. Značenje elementa a2j je isto kao i elementa a1j. Nastavimo tako do predzadnje alternative za koju je ostalo još samo da je usporedimo sa zadnjom alternativom. zadnju mogućnost nemamo s čim uspoređivati.

Praktički problemi se javljaju kada recimo alternativi 2. ne dajemo prednost prema alternativi 5. nego baš suprotno, prednost dajemo alternativi 5. u odnosu na alternativi 2. To riješimo na taj način da odredimo prednost alternativi 5. Prema alternativi 2. i uzmemo recipročnu vrijednost toga broja.

Ako prihvatimo da je svaka alternativa u prednosti jednaka prema samoj sebi onda ćemo dobiti brojeve aii koji su jednaki jedinici za svako i, tj. aii = 1 za svako i.

Dalje razmišljamo da ako je prednost alternative k prema alternativi 1 jednaka akl onda je prihvatljivo, i u suglasnosti sa svim razmišljanjima, da je prednost alternative 1 prema alternativi k jednaka recipročnoj vrijednosti od ak1, tj. da je a1k=1/ak1.

Ovako smo dobili elemente aij jedne matrice koju ćemo zvati matrica uspoređivanja parova alternativa za jedan kriterij i tu ftiilrlcu ćemo označiti sa A.

ODREĐIVANJE KOEFICIJENATA PRIORITETA

Da bi odredili koeficijent prioriteta, moramo prije objasniti neke osnovne elemente teorije matrica.

Posmatrajmo matricu W u sljedećem obliku:

 matrica ahp

 

Možemo uočiti neke osobine ove matrice. To je kvadratna matrica koja ima na dijagonali jedinice i simetrični elementi su inverzne vrijednosti. Svaki redak matrice proporcionalan je sa prvim retkom. Tako da elemente drugoga retka možemo dobiti množeći elemente prvoga retka sa wl1w2 i tako dalje sve ostale retke. Na osnovu toga zaključujemo da je rang ove matrice jednak jedan.

Ako je rang matrice W jednak jedan onda će sve karakteristične vrijednosti biti jednake nuli osim jedne. Trag matrice W bit će jednak vrijednosti lambda koji nije jednak nuli i ta karakteristična vrijednost bit će jednaka n, rangu matrice pošto su svi elementi na dijagonali jednaki jedan. Matrica W je strogo koizenstentna jer je:

aik X akj = aij za svako i,j.

Na osnovu teorije matrica, ako ulazni elementi u matricu W su malo narušeni onda će i izlazni elementi također biti malo narušeni. Među izlaznim elementima nalazi se i karakteristična vrijednost lambda. Tada matrica W neće biti strogo konzistentna. Trag matrice, ili zbroj svih elemenata na dijagonali, neće biti točno jednako i tako dobivenu vrijednost za lambda označit ćemo sa lambdamax i karakteristična jednadžba glasi: W x v = lambdamax x v

Vrijednost lambdamax bit će blizu jednako n, odnosno u svakom slučaju bit će malo veće ili jednako n. Odatle razlika lambdamax-n može poslužiti kao mjera nekonzistentnosti matrice. W. Saaty je definirao index konzistencije u sljedećem obliku:

(lambdamax-n)/(n-l)

I on predstavlja prosjek ostatka karakteristične vrijednosti. Stoga koinzenstentnost je postignuta ako je taj koeficijent jednak nuli. Potpuna nekonzistentnost bi bila postignuta kada bi ovaj koeficijent bio jednak jedan.

Matricu A, koju smo dobili kao rezultat uspoređivanja parova alternativa, možemo sada smatrati promatranom matricom W u cilju određivanja koeficijenata prioriteta pojedinih alternativa. Matrica A nije strogo konzistentna, ali je vrlo blizu konzistentnosti. i stoga konzistentnost bi bila postignuta kada bi procjene prednosti bile izvedene iz određenih prednosti samo prve alternative prema ostalih n-1 alternativa. To znači, ako smo odredili prednost prve alternative prema ostalim, tj. odredili smo a1j  j=2,3............... n; onda bibile određene sve prednosti. Ako bi to bilo tako onda bi matrica A bila upravo matrica W i sve druge prednosti bi bile rezultat Uspoređivanja dobivenih prednosti.

Nekonzistentnost uspoređivanja se sastoji u tome da ako smo odredili prednost prve alternative prema drugoj i prve prema trećoj, nismo automatski odredili prednost druge prema trećoj, prednost druge prema trećoj možemo možemo slobodno odrediti, ali u svakom slučaju to ima veze to ima veze sa prednošću prve prema drugoj i prema trećoj. Ako bi to bila funkcionalna veza koja bi se izvodila računskim putem, onda bi matrica A bila strogo konzistentna. Konzistentnost se sastoji u tome da se mi držimo principa da ako je prednost prve alternative prema drugoj 2 a prema trećoj 8 tada prednost druge alternative prema trećoj morala biti 4. Mi to ne obavezujemo osobe koje pripremaju odluku, ali odstupanje od principa konzistentnosti bit će izmjereno koeficijentom i pokazat će koliko smo dosljedni. Koeficijent će kazati koliko smo nasumice i slučajno određivali prednosti.

Za određivanje koeficijenta prioriteta smatrat ćemo da je matrica A vrlo blizu matrice W. Postupak izračunavanja se sastoji od nekoliko koraka.

Polazimo da imamo matricu A. Prvi stupac ćemo normirati lako da ćemo zbrojiti sve elemente stupca i sa dobivenim brojem dijelimo svaki element toga stupca. Zapravo izvršit ćemo li transformaciju matrice A u matricu A' na sljedeći način:

ak1 = ak1/(a11+a21+a31 +.............................. + an1)

Iz predhodne relacije vidi se da je zbroj elemenata prvoga stupca matrice A' jednak 1. To je rezultat normiranja prvoga stupca. Iza toga normiramo sve ostale stupce i tako dobijemo matricu A' sa elementima aij

Sljedeći korak je da transformiramo matricu A' u vektor v koji

ima sljedeće komponente (vl,v2.......... vn) koje su jednake zbroju svih

elemenata odgovarajućeg retka podjeljenog brojem n. To vidimo iz sljedeće formule

Vk = (a'k1+a'k2+...................... + a'kn)/n

Dobiveni vektor predstavlja prioritete alternativa od 1 do n iskazanih u koeficijentu u rasponu od 0 do 1. Veći koeficijent značii veći prioritet.

 

MJERENJE KONZISTENTNOSTI

Razlomak konzistentnosti se dobije u nekoliko koraka. Prvi korak se sastoji u tome da startamo sa orginalnom matricom A.Stupce matrice A transformiramo tako da svaki stupac pomnožimo sa odgovarajućom komponentom vektora v. Prvi stupac pomnožimo sa vi, drugi sa v2 i tako do kraja.

Drugi korak se sastoji u tome da u tako dobivenoj matrici, označimo je sa Ap, zbrojimo elemente svakoga retka i dobili smo jedan vektor, označimo ga sa c.

Treći korak se sastoji u tome da komponente vektora c dijelimo sa odgovarajućim komponentama vektora v. Dobivene vrijednosti zbrojimo i podjelimo sa brojem n. Tako dobivena vrijednost je karakteristična vrijednost lambdamax. Sada računamo koeficijent konzistentnosti kako smo već pokazali. Koeficijent konzistentnosti označimo sa CI i on je jednak:

CI=(lambdamax-n)/(n-1)

Razlomak konzistencije dobit ćemo tako da koeficijent CI podjelimo sa slučajnim indexom koji smo označili sa RI. Slučajni Index je index konzistencije od mnogo slučajnih generiranih matrica uspoređivanja parova veličine n, i dobiveni su sljedeći podaci:

                    n RI
  2 0.00
  3 0.58
  4 0.90
  5 1.12
  6 1.24
  7 1.32
  8 1.41
Tivor:Robert F. Dyer & Ernest H. For man, "An Analityc Approach iti Marketing Decision"

Razlomak konzistencije CR=CI/RI nam kaže koliko smo bili konzistenti, dosljedni, u procjenjivanju prednosti parova alternativa. Ovako kako je konstruiran količnik konzistencije smatra se da je konzistentnost u dozvoljenim granicama ako je taj količnik manji od 0.10.

 

KONSTRUKCIJA OPĆEG PRIORITETA

Po ranije opisanom postupku odredimo prioritete za svaki kriterij. Tako dobijemo prioritete za sve kriterije pojedinačno. Označimo ga sa v1 vektor prioriteta za prvi kriterij, sa v2 vektor prioriteta za drugi kriterij i tako do broja m, jer smo rekli da imamo m kriterija. Na ovaj način smo dobili m vektora prioriteta.

Odredimo sada prioritete kriterija, jer nam svi prioriteti nisu jednako važni za donošenje odluke. Na isti način kao kod određivanja prioriteta alternativa, odredimo proiritet kriterija po sustavu upoređenja parova kriterija. Matematička procedura određivanja prioriteta kriterija je potpuno ista kao određivanje prioriteta alternativa unutar kriterija. Dobivenu vektor prioriteta označimo sa k, tj:

k= (k1,k2ik3km).

Formiramo sada finalnu matricu, označimo je sa B, tako da ćemo u prvi stupac staviti vektor prioriteta u odnosu na prvi kriterij u drugi redak vektor prioriteta u odnosu na drugi kriterij i tako do kraja. Prema tome, stupci matrice B su vektori prioriteta kriterija i ta matrica je dimenzija n x m, tj. ima onoliko redaka koliko imamo alternativa i onoliko stupaca koliko imamo kriterija. Matrica B se može napisati kao

B=(vlsv2.............. vm).

Konačan prioritet dobit ćemo kao vektor, označimo ga sa p, dobijemo kao linearnu kombinaciju vektora vj1, v2,v3.... , vm  i komponenti vektora k, k1 k2........................ km.

Vektor p ćemo dobiti prema sljedećoj formuli

p=k1v1+k2v2+, ...................... kmvm=(p1 p2 ...........  pn)T

                                 

Elementi vektora p su koeficijenti ukupnih prioriteta alternativa, i to p1 je koeficijent ukupnog prioriteta prve alternative, p2 je koeficijent ukupnoga prioriteta druge alternative i tako do pn je fiktor ukupnog prioriteta n-te alternative.

Rate this item
(0 votes)
Leave a comment

Make sure you enter all the required information, indicated by an asterisk (*). HTML code is not allowed.

Galerija Slika

web hosting reviews

Xpert Captions

AHP & GIS U ODREĐIVANJU POGODNOSTI ZEMLJIŠTA ZA IZGRADNJU POSTROJENJA ZA OTPAD

In: Ekologija

Boris Džeba, FPMOZ Mostar, 2016

Stanje sa odlaganjem otpada u gradu Mostaru kao i Hercegovačko-nertvanjskom kantonu je krajnje kritično. Postoji prijeratno odlagalište otpada „Uborak“ u sjevernom dijelu grada koje je maksimum svojih kapaciteta počelo prelaziti sredinom devedesetih godina prošloga stoljeća. Planirano je proširenje postojećeg odlagališta, ali nikad nije realizirano. Pored toga nepostoji sortiranje i skladištenje odpada po vrstama. Pogotovo nepostoji posebna skladišta i postrojenja za obradu opasnih otpada, kao što su medicnski ili elektronički.

Readmore

AHP & GIS U ODREĐIVANJU POGODNOSTI ZEMLJIŠTA ZA IZGRADNJU POSTROJENJA ZA OTPAD